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几何直观

    一、对几何直观的认识

    顾名思义,几何直观所指有两点:一是几何,在这里几何是指图形;一是直观,这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次),更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象,综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯坦(Einstein)曾说过一句名言:“想象力比知识更重要,因为知识是有限的,想象力概括着世界上的一切,推动着进步,并且它是进化的源泉。严格地说,想象力是科学研究中的实在因素。”(爱因斯坦文集,第一卷,许良英、范岱年译,商务印书馆,1976,284)

    “数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”,除了美术,只有数学把图形作为基本、主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中,不仅需要关注如何研究图形的方法、研究图形的结果,还需要感悟图形给我们带来的好处,几何直观就是在数学—几何—图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特(Hilbert)在其名着《直观几何》一书中所谈到的,图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

    从另一个角度来说,几何直观是具体的,不是虚无的,它与数学的内容紧密相联。事实上,很多重要的数学内容、概念,例如,数,度量,函数,以至于高中的解析几何,向量,等等,都具有“双重性”,既有“数的特征”,也有“形的特征”,只有从两个方面认识它们,才能很好地理解它们,掌握它们的本质意义。也只有这样,才能让这些内容、概念变得形象、生动起来,变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题,形成几何直观能力,这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中,强调几何变换不仅是内容上的变化,也是设计几何课程指导思想上变化,这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”,在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质,这样,一方面加深了对图形性质的本质认识,另一方面对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到,在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。

    几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来,通过思考、想象,猜想出一些可能的结论和论证思路,这也就是合情推理,它为严格证明结论奠定了基础。

    有些数学研究的对象是可以“看到的”,可以“触摸的”,而很多数学研究对象是“看不见,摸不着”的,是抽象的,这是数学的一个基本特点。但是,数学中那些抽象的对象绝不是无根之木、无源之水,它的“根和源”一定是具体的。例如,我们看不到“七维空间”,但是,我们知道“颜色可以由七个基色组成:红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”,由不同成分的七个基色组成一种颜色,这样,“由七基色组成颜色”就是理解“七维空间”的“可以看到的源”,“红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”七个数就可以决定一个颜色。当然,在颜色中,不能取负值,颜色空间不是七维空间,它仅仅是帮助我们联想的“实物”和基础。在数学中,需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”

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